Kurvendiskussionen

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    Re: Kurvendiskussionen

    Daniel - 24.01.2007, 21:48

    Kurvendiskussionen
    f(x)=x³-x²-x+1

    Nullstelle: +1 -----> ausprobieren

    (x-1)x²+x²-x²-x+1
    (x-1)x²+(x-1)(-1)

    Rot = Bei Polynomdivision das Vorzeichen der Nullstelle ändern
    Grün = Nach Auflösen der Klammer entsteht x³-x²....somit muss das -x² "ausgeglichen werden ---->+x²
    Orange = der rest wird abgeschrieben, gegebenfalls zusammengefasst ---->x²-x² fällt weg
    Violett = es muss nun nur noch -x+1 durch das Polynom (x-1) ersetzt werden ----> -1, denn (x-1)(-1) ergibt -x+1

    Das war die Polynomdivision:

    Nun die Zahlen, die zu den Klammern stehen, für den weiteren Schritt verwenden:

    Nullstellen:
    x²-1=0 |+1
    x²=1 |√
    x=1 v x=-1

    Extrema:
    f´(x)=3x²-2x-1
    3x²-2x-1=0 |:3
    x²-2/3x-1/3=0
    x²-2/3x+(1/3)²-(1/3)²=0 -------->ergeben sich aus der Zahl mit dem x zur Hläfte zum Quadrat[/color]
    (x-1/3)²-1/9=0 |+1/9
    (x-1/3)²=1/9 |√
    x-1/3=+1/3 v x-1/3=-1/3 |+1/3
    x=2/3 v x=0

    Hoch oder Tiefpunkt?
    Nullstellen in f´´(x) einsetzen:
    f´´(x)=6x-2
    f´´(1/3)=6(1/3)-2 =0 ----->Sattelpunkt
    f´´(0)=6(0)-2 <0>Hochpunkt

    Koordinaten für Extrema und Wendepunkte IMMER in f(x) einsetzen
    f(2/3)=(2/3)³-(2/3)²-(2/3)+1
    f(2/3)~0,19
    [(2/3)/0,19] Sattelpunkt

    f(0)=0³-0²-0+1
    f(0)=1
    [0/1] Hochpunkt

    Wendepunkt(e):
    f´´(x)=6x-2
    6x-2=0 |+2
    6x=2 |:6
    x=2/3

    Überprüfung in f´´´(x) muss ≠ 0 sein
    f´´´(x)=6
    also stimmt es, dass ein WP vorhanden ist, da ≠ 0 ist

    f(2/3)=(2/3)³-(2/3)²-(2/3)+1
    f(2/3)~0,19
    [(2/3)/0,19]

    So ich denke das wars hier erstma....

    Noch Fragen?

    Selman, Thorsten stehen euch zur Verfügung :lol: :lol: :lol:



    Re: Kurvendiskussionen

    Selman - 24.01.2007, 21:50


    Tolle Arbeit Thelen. Da sieht man mal was der Dohmen uns damals noch beigebracht hat.



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