Ich eröffne einen Mathematik-Thread für Northstar.

Mitten im Vektor-Wald liegt ein ruhiges, nettes Hotel, das Hilbert-Hotel. Das besondere daran ist, dass es abzählbar unendlich viele Zimmer hat. Die sind aktuell aber gerade alle belegt.

Es hält ein Bus mit 30 Insassen vor dem Hotel. Der Portier muss die neuen Gäste leider enttäuschen, denn das Hotel ist ja voll belegt. Da kommt der Hotelbesitzer wütend dazu und macht den Portier zur Schnecke. Natürlich können die Gäste noch Zimmer bekommen. Aber wie ?

Ich weiß es.

Aber wir wollen ja auch die Anderen ein wenig nachdenken lassen ...

PS: Ich war schon öfter im Hilbertraum.

Bei den gelben Nachbarn wurde gerade gefragt was ein "rational roots theorem" ist.

Die gingen erst mal in die Irre da sie davon ausgingen daß "root" Wurzel heißt und nicht wußten daß das Wort eine Doppelbedeutung hat.

Rationale Wurzeln sind ja auch langweilig. Interessant wirds erst bei den Reellen. ;-)

Ich hätte die Bedeutung von root auch nicht ad hoc erkannt (jedenfalls hätte mich das Zusammenspiel von rational und root schon irritiert, so daß ich nicht unbedingt von Wurzeln ausgegangen wäre). Allerdings hätte ich nach der englischen Satz-Bezeichnung gesucht und nicht nach der Übersetzung.

Jack, schon mal von den Buch "Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung" gehört?

Nein, noch nicht. Klingt aber interessant. Zahlentheorie hat mich zugegebenermassen bislang noch nicht allzusehr gefesselt.

Ich kenne das Buch nicht denke aber über eine Anschaffung nach.

Lies mal hier: http://www.literaturkritik.de/public/re ... abe=200110

Wenn ich mal viel Zeit habe, kann ich mir das sicherlich mal vornehmen, aber dann werde ich definitiv Rentner sein. ;-) Ich habe noch so einige wissenschaftliche Bücher in der Pipeline...

Hier noch was zum Thema 'Ungelöste Probleme'.

Enrico Fermi, while studying in college, was bored by his math classes. He walked up to the professor and said, "My classes are too easy!" The professor looked at him, and said, "Well, I'm sure you'll find this interesting."
Then the professor copied 9 problems from a book to a paper and gave the paper to Fermi. A month later, the professor ran into Fermi, "So how are you doing with the problems I gave you?"
"Oh, they are very hard. I only managed to solve 6 of them."
The professor was visibly shocked, "What!? But those are unsolved problems!"

Hmmm..... Meine Mathe-Leistungen im Grundstudium waren mehr schlecht als recht.... Aber ich versuch's mal.
Wenn es abzählbar unendlich viele Zimmer gibt, und das Hotel voll belegt ist, hat das Hotel also abzählbar unendlich viele Gäste. 30 Gäste mehr draufaddiert bleibt abzählbar unendlich, also passen die noch locker rein... ??

Hm, nee... Irgendwie trifft es das nicht ganz, oder?

Im Prinzip schon, denn bei unendlichen Mengen hat der Begriff der Anzahl der Elemente keinen Sinn. Man spricht dann von der Mächtigkeit, aber das zu erklären würde hier zu weit führen.

Praktisch ist die Lösung die: Der Portier verlegt den Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 31, den aus Zimmer 2 in Zimmer 32 usw.

Nach wie vor hat Jeder ein Zimmer, es sind dann aber 30 Zimmer frei.

Ah, ok.... Im Grunde meinte ich das, ich bin nur nicht drauf gekommen, dass man die ersten 30 freiräumt und die neuen Gäste da einquartiert.
Ich hätte jetzt einfach die 30 neuen Gäste "hinten" dran gepackt (was ja prinzipiell auch geht), nur ist es bei abzählbar unendlich vielen Räumen natürlich schwer, das "hinten" genau mit Zahlen zu benennen...
Aber wozu, wenn es auch "vorne" geht? ;-)

Ein Freund von mir ist Fan von der Mengenlehre, der hat mir neulich versucht zu erklären, dass selbst das "überabzählbar Unendlich" der reelen Zahlen noch vergleichsweise "winzig" ist im Vergleich zu den "höheren" (?) Unendlichkeiten, die man in der Mengenlehre so betrachtet....
Irgendwie "zählt" man da dann den "Grad" der Unendlichkeit mit dem griechischen Buchstaben aleph oder so?! Hab ich allerdings nicht ganz verstanden bzw nicht mehr so im Kopf ;-)

Ja, man spricht von Aleph-Null, Aleph-Eins usw.

Mengen sind gleich mächtig wenn es möglich ist eine Abbildung zu definieren die jedem Element der einen Menge genau ein elemant der anderen menge zuordnet, und das in beide Richtungen (jetzt mal unmathematisch formuliert).

Im Trivialfall der endlichen Mengen heißt das sie müssen gleich viele Elemente haben.

Eine abzählbare Menge wäre die Menge der natürlichen zahlen.

Nicht abzählbar sind z.B. die reellen Zahlen.

Eins der berühmtesten mathematischen Probleme ist das Kontinuumsproblem: Gibt es eine Menge die mächtiger ist als die Menge der natürlichen Zahlen aber weniger mächtig als die Menge der reellen Zahlen?

Also, wenn man ne Bijektion zwischen beiden Mengen angeben kann.
So viel Grundwissen hab ich wohl noch... :)

Studierst Du Mathematik bzw hast Du Mathematik studiert?

Letzteres. Mit Hauptaugenmerk auf Zahlentheorie und Algorithmen für Parallelrechner.

Brecht die Mächtigkeit der Mengen

Weshalb solle sich ein Mathematiker hinter die Mannigfaltigkeit der Fahnen stellen? Welchen Bezug hat die Mengenlehre zur Revolution? Ein Mathematikprofessor hat einmal gesagt: "Niemand soll uns aus dem Reich der Mengenlehre, das uns Cantor erschaffen hat, vertreiben können!" Durch diesen zynischen Ausspruch entlarvt er sich selbst. Er ( es war Hilbert) und auch die anderen Professoren meinen damit, daßsie die totalitären Herrschaftspositionen, die sie mit Hilfe der hierarchischen Struktur der Mengenlehre behaupten, nicht aufgeben wollen.

Cantor, der Begründer der Mengenlehre im Zeichen des aufkommenden Kapitalismus, hat ihre systemimmanenten Widersprüche noch diskutiert. Heute spricht keiner mehr davon. Sie werden totgeschwiegen und verharmlost. Warum? Weil ihre Entlarvung zum Zusammenbruch des durch repressive Toleranz gekennzeichneten Herrschaftssystems der Klassen führen würde. Auch verzweifelte Winkelzüge, wie etwa die Behauptung der Unentscheidbarkeit etc. können darüber nicht hinwegtäuschen.

Der faschistoide Charakter der Mengenlehre manifestiert sich z.B. dadurch, daß Mengen beliebiger Mächtigkeit zugelassen werden. Hinzu kommt die Verwendung der repressiven Auswahlfunktion, die praktisch einem numerus clausus gleichkommt. Was passiert eigentlich mit den nicht-offenen Mengen? Diese sind reif für ein Go-in.

Schon heute diskutieren jungen Arbeiter und Arbeiterinnen im Rosa-Institut über den Aufbau einer sozialistischen, noch demokratischeren Mengenlehre, in welcher insbesondere mit dem kapitalistischen Wahrheitsbegriff aufgeräumt wird.

Car l'universe mathematique est un modele non standard de la revolution!

Wir fordern:

1. Sozialisierung aller Mengen der Mächtigkeit größer oder gleich Aleph Null.
2. Durchführung transparenter Entscheidungsverfahren.
3. Abschaffung des Auswahlprinzipes
4. Mitbestimmung aller Elemente bei Strukturfragen
5. Verzicht auf alle Klasseneinteilungen.
6. Auflösung der auflösbaren Gruppen mit Ausnahme der Basisuntergruppen.
7. Freilassung aller gebundenen Variablen.

Solidarisiert euch massenhaft! Verhindert abstrakte Konstruktionen, die euch mit Polizeiknüppeln aufgezwungen werden sollen! Dualisiert die reaktionären Rechtsmoduln!

Merke: Radikale erzeugen einen auflösbaren Körper!

Herausgegeben vom Komitee der Untermengen

So, der erste Teil des Hilbert-Hotel-Rätsels ist aufgeklärt. Fahren wir fort:

Vor dem Hotel hält ein Hilbert-Bus mit abzählbar unendlich vielen Insassen. Die wollen natürlich alle ein Zimmer. Auch hier erklärt der Hotelbesitzer, dass das kein Problem sei. Was veranlasst er ?

Ich glaube ich verrate jetzt nicht die Lösung. Lassen wir auch den Nichtmathematikern ihren Spaß.

Ich glaube ich verrate jetzt nicht die Lösung. Lassen wir auch den Nichtmathematikern ihren Spaß.

Die bisherigen Gäste werden so einquartiert, dass immer ein Raum zwischen zwei Gästen frei bleibt?
Auf die freien "Zwischen-Räume" ( ;-) ) werden dann die Neuankömmlinge verteilt?

Ich gehe mal eine Stufe weiter.

Jetzt kommen unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Insassen an. Kann der Portier die Gäste immer noch unterbringen?

Hm....

Man verfrachtet alle Bus-Insassen in Bus 1 (ist ja Platz für unendlich viel Insassen drin) und verfährt dann wie eben?

Bleibt die Frage wie man die Leute alle in Bus 1 bekommt. Und das ist letzten Endes genau wieder die Ausgangsfrage.

Ach mist, stimmt ja...

Also ein Hinweis mal: Das ist keine Trickfrage in dem Sinn daß sie unlösbar wäre. Es gibt eine Lösung.

Aber Moment... Man kann ja einfach Bus 1 wie eben erwähnt auf das Hotel verteilen, dann nimmt man sich Bus 2 vor und verfährt genauso und setzt das induktiv fort.

Vorausgesetzt, mit "unendlich viele Busse" ist wieder "abzählbar unendlich viele" gemeint.

Das scheitert aber daran daß Du nie an Bus 2 kommst weil Du mit Bus 1 ja nie fertig wirst.

Gefragt ist ein eindeutiges Schema mit dem Du im Prinzip exakt berechnen kannst welches Zimmer beispielsweise der fünfte Passagier im siebten Bus bekommt.

Na gut... Ich schlaf nochmal drüber. ;-)

Nettes Rätsel übrigens...

Schade , hab gerade erst das Rätsel entdeckt.

Für mich als Hobby-Nachtportier , Dipl-Ing und Schachgott natürlich eine einfache Lösung.

Man schafft sich erst einmal Platz wie im obrigen Beispiel. Also alle ungeraden Zimmer räumen. Dann steckt man die Gäste aus Bus 1 ein in die Zimmer 3 hoch n , die Gäste aus Bus 2 in die Zimmer 5 hoch n usw. . Zimmer = Primzahl und schwupps sind alle Gäste glücklich.

Da hat es sich der Hobby-Nachtportier aber zu einfach gemacht. ;-)

Bei Deiner Lösung bleiben Zimmer frei, nämlich die ungeraden Zimmer mit einer Nichtprimzahl (ausgenommen Potenzen einer einzigen Primzahl). Wer kommt z.B. in Zimmer 15?

Perelman hat kein Interesse an Fields-Medaille: http://news.yahoo.com/s/ap/20060822/ap_ ... ath_genius

Also wenn ich die Frage richtig durchlese, wurde nicht nach eine "100%" auslastung gefragt, sondern nur nach ein Beherbung der Gäste.
Der Gast ist König

bei Northi ist immer alles 100%ig!

Ok, dann formuliere ich die Frage um:

Jetzt kommen unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Insassen an. Kann der Portier die Gäste immer noch unterbringen? Und zwar so daß keine Zimmer leerbleiben?

So, nach ein paar mal drüber Schlafen hier ein neuer Lösungsversuch:

Man denkt sich jeden Gast als "Bruch"

[Gast-Nummer]
------------------
[Bus-Nummer]

und kann dann das Verfahren der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen nach Cantor (weiß nicht mehr genau, wie das offiziell genannt wird?) verwenden.




Was sagen die Profis? ;-)

edit:
Obwohl, das ist vielleicht sogar schon zuviel des Guten... Man hat hier ja quasi nur die "positive Hälfte" der rationalen Zahlen, weil die Nummerierung der Gäste sowie Busse ja keine negativen Zahlen erfodern.

Wichtig ist nur, dass Du ein Abzählschema gefunden hast, das keine Lücken offenlässt.

Der Ansatz ist schon richtig, wobei in dieser Tabelle das Problem ist daß Brüche wie 2/4 und 1/2 wie unterschiedliche Zahlen behandelt werden.

Also, ein einfaches Schema:

Passagier 1 aus Bus 1, P(1,1), kommt in Zimmer 1, der Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, also ein Zimmer weiter.

Dann kommt der zweite Passagier aus Bus 1 in Zimmer 3, dann der erste Passagier aus Bus 2 in Zimmer 4, der Gast aus Zimmer 2 dahinter.

Dann kommt der dritte Passagier aus Bus 1, der zweite aus Bus 2, der erste aus Bus 3, und dahinter der ursprüngliche Gast aus Zimmer 3.

Usw.

Warum ist das ein Problem? Mit der Interpretation

[Gast-Nummer] / [Bus-Nummer]

ist es doch sogar gut, dass 2/4 nicht äquivalent zu 1/2 ist, oder nicht? Der zweite Passagier in Bus 4 ist nunmal nicht der erste Passagier in Bus 2 ;-)

Aber Dein angegebenes Schema ist natürlich einfacher.

Habt Ihr noch mehr von solchen Knobeleien auf Lager?

Ein Mathematiker ist ein Mensch, der einen ihm vorgetragenen Gedanken nicht nur sofort begreift, sondern auch erkennt, auf welchem Denkfehler er beruht.

Helmar Nahr (*1931), dt. Mathematiker u. Wirtschaftswissenschaftler

"A mathematician is a device for turning coffee into theorems." (Paul Erdös)